【第1句】： 視為最優美的公式,美在哪里

歐拉公式大概是數學史上最有名的公式之一，它的簡潔，優美，可以說是數學之美最恰當的證明。image

這個公式可能很多同學都耳熟能詳了，但是其證明大家可能還不熟悉。證明方法有很多種，下面我為大家演示一個最常見的。

首先注意到ex的泰勒展開如下：

令x=it，即有：

合并實部和虛部，整理如下：

最后一步的得到是利用了cos(t)和sin(t)的泰勒展開。如果你忘了這兩個函數的泰勒展開，可以點擊這里復習一下。

只需要令t=π，我們就可以得到大名鼎鼎的歐拉恒等式（Euler Identify）:

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這個公式被許多人認為是數學史上最優美的公式，沒有之一。一個式子就可以將5個最常見的數學常數連接在一起，著實令人沉醉。

0，加法的單位元。

1，乘法的單位元。

e，自然常數。在數學的很多領域都有出鏡，例如我上一篇日志里提到的亂序問題。

i，復數的虛部單位元。

π，圓周率常數，不需要我再介紹了吧。

每次我看到這個式子，就會有一種奇妙的感覺。這么說或許很抽象，就像是油畫愛好者看到了蒙娜麗莎，建筑師們觸摸到了巴特農神廟，或者宅男看到了空姐一樣。但是不像別的學科，數學只需要給你一張紙和一支筆，就可以無差別的體會到她的魅力。這或許是當前世界上最廉價的娛樂活動，卻是最集中的體現了人類智慧的精華。我想，這就是我這個普通數學愛好者的幸運。

【第2句】： 為什么說歐拉公式偉大

這個公式是上帝寫的么？？？？？ 最優美的公式，沒有之一.

到了最后幾名，創造者個個神人。歐拉是歷史上最多產的數學家，也是各領域（包含數學的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫藥等）最多著作的學者。數學史上稱十八世紀為“歐拉時代”。歐拉出生于瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力。他一生謙遜，很少用自己的名字給他發現的東西命名。不過還是命名了一個最重要的一個常數——e。

關于e，以前有一個笑話說：在一家精神病院里，有個病患整天對著別人說，“我微分你、我微分你?！币膊恢獮槭裁?，這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，“我是e的x次方?！?/p>

這個公式的巧妙之處在于，它沒有任何多余的內容，將數學中最基本的e、i、pie放在了同一個式子中，同時加入了數學也是哲學中最重要的0和1，再以簡單的加號相連。

高斯曾經說：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。”

【第3句】： 最美數學公式

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原發布者：ARITHo

【第1句】：歐拉恒等式這是一個非常著名的恒等式。它給出了3個看似隨機的量之間的聯系：π、e和-1的平方根。許多人認為這是數學中最漂亮的公式。一個更一般的公式是e^(ix)=cosx+isinx(a^b表示a的b次方，下同)。當x=π，cosx取值為-1，而isinx取值為0。由-1+1=0，我們得到了歐拉恒等式。 【第2句】：歐拉乘積公式等式左邊的符號是無窮求和，而右邊的符號則是無窮乘積。這個公式也是歐拉首先發現的。它聯系了出現在等式左邊的自然數（如n=1,2,3,4,5等等）與出現在等式右邊的素數（如p=2,3,5,7,11等等）。而且我們可以選取s為任意大于1的數，并保證等式成立。歐拉乘積公式的左邊是黎曼ζ函數最常見的一種表示形式。 【第3句】：高斯積分函數e^(-x2)本身在積分中是很難對付的。可是當我們對它在整個實數軸上積分，也就是說從負無窮到正無窮時，我們卻得到了一個十分干凈的答案。至于為什么曲線下面的面積是π的平方根，這可不是一眼就能看出來的。由于這個公式代表了正態分布，它在統計中也十分重要。 【第4句】：連續統的基數上面的公式說明了實數集的基數與自然數全體子集的基數相同。這首先是被集合論的建立者康托爾證明的。值得注意的是，這也說明了連續統是不可數，因為2^N>N。一個相關的假設是連續統假設。這個假設是說，在N和R之間不存在其它的基數。有趣的是，這個假設有一個奇怪的性質：它既不能被證明也不能被證偽。 【第5句】：階乘函數的解析延拓階乘函數通常被定義為n!=n(n-

【第4句】： 歐拉公式的證明過程誰知道

用拓樸學方法證明歐拉公式

嘗歐拉公式：對于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體），假 設F,E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個數，那么

F-E+V=2。試一下用拓樸學方法證明關于多面體的面、棱、頂點數的歐拉公式。

證明 ：

(1)把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。

(2)去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明F′-E′+V′=1。

(3)對于這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

(4)如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。

(5)如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1,E′減去2,V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。

(6)這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1,E′=3,V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

(7)因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。

(8)如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。

即F′-E′+V′=1

成立，于是歐拉公式：

F-E+V=2

得證。

【第5句】： 世界上最美的十大數學公式

No.10 圓的周長公式（The Length of the Circumference of a Circle）

No.9 傅立葉變換（The Fourier Transform）

No.8 德布羅意方程組（The de Broglie Relations）

No.7 1+1=2

No.6 薛定諤方程（The Schr?dinger Equation）

No.5 質能方程（Mass–energy Equivalence）

No.4 勾股定理/畢達哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）

No.3 牛頓第二定律（Newton's Second Law of Motion）

No.2 歐拉公式（Euler's Identity）

No.1 麥克斯韋方程組（The Maxwell's Equations）